$9\tan 10^\circ+2\tan 20^\circ+4\tan 40^\circ-\tan 80^\circ=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学优特（U-Test）数学测试试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
由于\[\tan\theta-\dfrac{1}{\tan \theta}=-\dfrac{2}{\tan2\theta},\]于是\[\begin{split} \tan 10^\circ-\tan 80^\circ=-2\cot 20^\circ,\\
2(\tan 20^\circ-\cot 20^\circ)=-4\cot 40^\circ,\\
4(\tan 40^\circ-\cot 40^\circ)=-8\cot 80^\circ,\end{split}\]三式相加即得\[9\tan 10^\circ+2\tan 20^\circ+4\tan 40^\circ-\tan 80^\circ=0.\]
2(\tan 20^\circ-\cot 20^\circ)=-4\cot 40^\circ,\\
4(\tan 40^\circ-\cot 40^\circ)=-8\cot 80^\circ,\end{split}\]三式相加即得\[9\tan 10^\circ+2\tan 20^\circ+4\tan 40^\circ-\tan 80^\circ=0.\]
题目
答案
解析
备注
