设非负实数 $a$、$b$、$c$ 满足 $ab+bc+ca=a+b+c>0,$ 则 $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
不妨设 $a\geqslant b \geqslant c$，由均值不等式，得\[\begin{split}&(a+b+c)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\\=&(a+b)\sqrt{ab}+(b+c)\sqrt{bc}+(c+a)\sqrt{ca}+\left(c\sqrt{ab}+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}\right)\\\geqslant&(a+b)\sqrt{ab}+(b+c)\sqrt{bc}+(c+a)\sqrt{ca}\\\geqslant &2\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab}+2\sqrt{bc}\cdot \sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\cdot \sqrt{ca}\\=&2(ab+bc+ca).\end{split}\]当且仅当 $c=0$ 且 $a=b$ 时，等号成立．
又\[ab+bc+ca=a+b+c>0,\]所以\[\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\geqslant 2.\]由 $c=0,a=b,ab+bc+ca=a+b+c$，得 $a=b=2,c=0$．
故当 $a$、$b$、$c$ 中有两个为 $2$，一个为 $0$ 时，$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$ 取得最小值为 $2$．
又\[ab+bc+ca=a+b+c>0,\]所以\[\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\geqslant 2.\]由 $c=0,a=b,ab+bc+ca=a+b+c$，得 $a=b=2,c=0$．
故当 $a$、$b$、$c$ 中有两个为 $2$，一个为 $0$ 时，$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$ 取得最小值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
