设 $0<a<b$，已知 $a$、$s$、$t$、$b$ 依次成等差数列，$a$、$u$、$v$、$b$ 依次成等比数列，记 $x = st(s+t), y=uv(u+v)$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
设公比为 $q>1$，则$$b=aq^3, u=aq, v=aq^2, s=\dfrac{2a+b}{3}=\dfrac{(2+q^3)a}{3},$$$$t=\dfrac{a+2b}{3}=\dfrac{(1+2q^3)a}{3}.$$由$$a(1+q^3)-a(q+q^2)=a(q-1)(q^2-1)>0,$$知 $s+t=a+b>u+v$．
由$$\dfrac{(2+q^3)a}{3}\cdot \dfrac{(1+2q^3)a}{3}-q^3 a^2 = \dfrac{2a^2(q^3 - 1)^2}{9}>0$$知 $st>ab=uv$．
于是 $st(s+t)>uv(u+v)$，即 $x>y$．故选 $\rm A$．
由$$\dfrac{(2+q^3)a}{3}\cdot \dfrac{(1+2q^3)a}{3}-q^3 a^2 = \dfrac{2a^2(q^3 - 1)^2}{9}>0$$知 $st>ab=uv$．
于是 $st(s+t)>uv(u+v)$，即 $x>y$．故选 $\rm A$．
题目
答案
解析
备注
