设 $a$ 是实数，要使得对任何 $x \in (-\infty,1)\cup(5,+\infty)$，都有 $x^2-2(a-2)x + a>0$，所有满足上述要求的 $a$ 组成的集合是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
令 $f(x)=x^2-2(a-2)x+a$，下面分两种情形讨论．
情形1：$f(x)$ 没有零点的情形．这时 $f(x)$ 恒大于 $0$，自然满足要求．由 $\Delta=4(a-2)^2-4a<0$ 解得 $a$ 的取值范围是 $(1,4)$．
情形2：$f(x)$ 有零点的情形．这时，由函数图象可见 $f(x)$ 满足要求当且仅当 $f(1)\geqslant 0,f(5)\geqslant 0,1\leqslant a-2 \leqslant 5$ 且 $f(a-2)\leqslant 0$．由 $f(1)\geqslant 0$ 和 $f(1)\geqslant 0$ 得 $a \leqslant 5$，由 $1\leqslant a-2 \leqslant 5$ 得 $3\leqslant a \leqslant 7$，由 $f(a-2)\leqslant 0$ 得 $a \leqslant 1$ 或 $a \geqslant 4$，取交集得 $a$ 的取值范围是 $[4,5]$．
综合以上两种情形的讨论知 $a$ 的取值范围是 $(1,4)\cup [4,5]=(1,5]$．故选 $\rm D$．
情形1：$f(x)$ 没有零点的情形．这时 $f(x)$ 恒大于 $0$，自然满足要求．由 $\Delta=4(a-2)^2-4a<0$ 解得 $a$ 的取值范围是 $(1,4)$．
情形2：$f(x)$ 有零点的情形．这时，由函数图象可见 $f(x)$ 满足要求当且仅当 $f(1)\geqslant 0,f(5)\geqslant 0,1\leqslant a-2 \leqslant 5$ 且 $f(a-2)\leqslant 0$．由 $f(1)\geqslant 0$ 和 $f(1)\geqslant 0$ 得 $a \leqslant 5$，由 $1\leqslant a-2 \leqslant 5$ 得 $3\leqslant a \leqslant 7$，由 $f(a-2)\leqslant 0$ 得 $a \leqslant 1$ 或 $a \geqslant 4$，取交集得 $a$ 的取值范围是 $[4,5]$．
综合以上两种情形的讨论知 $a$ 的取值范围是 $(1,4)\cup [4,5]=(1,5]$．故选 $\rm D$．
题目
答案
解析
备注
