设函数 $f(x)$ 的定义域是 $(-\infty,+\infty)$，对于下列 ① - ④ 四个命题：
① 若 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(f(x))$ 也是奇函数；
② 若 $f(x)$ 是周期函数，则 $f(f(x))$ 也是周期函数；
③ 若 $f(x)$ 是单调递减函数，则 $f(f(x))$ 是单调递增函数；
④ 若方程 $f(f(x))= x$ 有实根，则方程 $f(x)= x$ 也有实根．
正确的命题共有 \((\qquad)\)
① 若 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(f(x))$ 也是奇函数；
② 若 $f(x)$ 是周期函数，则 $f(f(x))$ 也是周期函数；
③ 若 $f(x)$ 是单调递减函数，则 $f(f(x))$ 是单调递增函数；
④ 若方程 $f(f(x))= x$ 有实根，则方程 $f(x)= x$ 也有实根．
正确的命题共有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
若 $f(x)$ 是奇函数，则$$f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x)),$$故 $f(f(x))$ 也是奇函数．因此命题 ① 是正确的．
若 $f(x)$ 是周期函数，设 $T$ 是 $f(x)$ 的一个周期，则$$f(f(x+T))=f(f(x)),$$故 $f(f(x))$ 也是周期函数．因此命题 ② 是正确的．
若 $f(x)$ 是单调递减函数，则对任何 $x<y$，由 $f(x)>f(y)$ 得 $f(f(x))<f(f(y))$，故 $f(f(x))$ 是单调递增函数．因此命题 ③ 是正确的．
命题 ④ 不正确．例如，取$$f(x)=\begin{cases} |x|+2, x \ne 0$或$1,\\ 1,x=0,\\ 0,x=1,\end{cases}$$则$$f(f(x))=\begin{cases} |x|+4, x \ne 0$或$1,\\ 0,x=0,\\ 1,x=1.\end{cases}$$故方程 $f(f(x))=x$ 有 $0$ 和 $1$ 两个实根，但 $x \ne 0$ 或 $1$ 时，$$f(x)=|x|+2>x,$$而 $f(0)=1,f(1)=0$，可见方程 $f(x)=x$ 没有实根．故选 $\rm C$．
若 $f(x)$ 是周期函数，设 $T$ 是 $f(x)$ 的一个周期，则$$f(f(x+T))=f(f(x)),$$故 $f(f(x))$ 也是周期函数．因此命题 ② 是正确的．
若 $f(x)$ 是单调递减函数，则对任何 $x<y$，由 $f(x)>f(y)$ 得 $f(f(x))<f(f(y))$，故 $f(f(x))$ 是单调递增函数．因此命题 ③ 是正确的．
命题 ④ 不正确．例如，取$$f(x)=\begin{cases} |x|+2, x \ne 0$或$1,\\ 1,x=0,\\ 0,x=1,\end{cases}$$则$$f(f(x))=\begin{cases} |x|+4, x \ne 0$或$1,\\ 0,x=0,\\ 1,x=1.\end{cases}$$故方程 $f(f(x))=x$ 有 $0$ 和 $1$ 两个实根，但 $x \ne 0$ 或 $1$ 时，$$f(x)=|x|+2>x,$$而 $f(0)=1,f(1)=0$，可见方程 $f(x)=x$ 没有实根．故选 $\rm C$．
题目
答案
解析
备注
