若 $z=0$，则$$\begin{cases}x+y=0,\\xy+y=0,\end{cases}$$解得$$\begin{cases}x=0,\\y=0\end{cases}\lor\begin{cases}x=-1,y=1\end{cases}$$若 $z\ne0$，则由 $xyz+z=0$ 得$$xy=-1\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$由 $x+y+z=0$，得$$z=-x-y\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$将 $\text{ ② }$ 式代入 $xy+yz+xz+y=0$，得$$x^2+y^2+xy-y=0\qquad\cdots\cdots\text{ ③ }$$由 $\text{ ① }$ 式得 $x=-\dfrac1y$，代入 $\text{ ③ }$ 式化简得$$(y-1)(y^3-y-1)=0,$$易知 $y^2-y-1=0$ 无有理数根，故 $y=1$，由 $\text{ ① }$ 式得 $x=-1$，由 $\text{ ② }$ 式得 $z=0$，与 $z\ne0$ 矛盾，故该方程组有理数解为$$\begin{cases}x=0,\\y=0,\\z=0\end{cases}\lor\begin{cases}x=-1,\\y=1,\\z=0.\end{cases}$$