设 $\triangle ABC$ 的三边长 $a,b,c$ 成等比数列，则 $\dfrac{\sin A\cot C+\cos A}{\sin B\cot C+\cos B}$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $a,b,c$ 的公比为 $q$，则 $b=aq,c=aq^2$，设 $\dfrac{\sin A\cot C+\cos A}{\sin B\cot C+\cos B}=M$，则$$M=\dfrac{\sin A\cos C+\cos A\sin C}{\sin B\cos C+\cos B\sin C}=\dfrac{\sin(A+C)}{\sin(B+C)}=\dfrac{\sin B}{\sin A}=\dfrac{b}{a}=q,$$因此，只需求 $q$ 的取值范围，因为 $a,b,c$ 成等比数列，最大边只能是 $a$ 或 $c$，因此 $a,b,c$ 要构成三角形的三边，必须且只需 $a+b>c$ 且 $b+c>a$，即有不等式组$$\begin{cases}a+aq>aq^2,\\aq+aq^2>a,\end{cases}$$解得$$\begin{cases}\dfrac{1-\sqrt5}{2}<q<\dfrac{\sqrt5+1}{2},\\q>\dfrac{\sqrt5-1}{2}\lor q<-\dfrac{\sqrt5+1}{2}.\end{cases}$$从而$$\dfrac{\sqrt5-1}{2}<q<\dfrac{\sqrt5+1}{2},$$因此所求的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt5-1}{2},\dfrac{\sqrt5+1}{2}\right)$．
题目
答案
解析
备注
