$f(x)=\begin{cases}4-2x+{\rm e}^{x},&x<1,\\ 2+{\rm e}^{x},&1\leqslant x\leqslant 3,\\ 2x-4+{\rm e}^{x},&x>3.\end{cases}$ 所以 $x\geqslant 1$ 时，$f(x)$ 为增函数，又 $x<1$ 时，$f'(x)={\rm e}^{x}-2$，由 $f'(x)=0$，得到 $x=\ln 2$，且 $x<\ln 2$ 时，$f'(x)<0$，$\ln 2<x<1$ 时，$f'(x)>0$．所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,\ln 2]$ 上为减函数，在 $[\ln 2,+\infty)$ 上为增函数．因此\[f(x)_{\min}=f(\ln 2)=4-2\ln 2+2=6-\ln 4.\]