已知正三角形 $ABC$ 在平面 $\alpha$ 内的射影是边长为 $2,3,2\sqrt 3$ 的三角形，则正三角形 $ABC$ 的边长是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
设正三角形 $ABC$ 三个顶点到平面 $\alpha$ 的距离分别为 $a,b,c$．由题意可得\[(c-a)^{2}+2^{2}=(b-a)^{2}+(2\sqrt 3)^{2}=(c-b)^{2}+3^{2},\]令 $\begin{cases}x=c-a,\\ y=b-a,\\ z=c-b,\end{cases}$ 则有\[\begin{cases}x^{2}+4=y^{2}+12,\\ x^{2}+4=z^{2}+9,\\ y+z=x,\end{cases}\]解得 $\begin{cases}x=3,\\y=1,\\ z=2.\end{cases}$ 所以正三角形 $ABC$ 的边长为 $\sqrt{13}$．
题目
答案
解析
备注
