下列方程中与方程 $\sin x +\cos x=0$ 解集相同的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
由 $\sin x+\cos x=0$ 得 $\tan x=-1$，所以 $x=k\pi-\dfrac {\pi}{4}$（$k\in \mathbb Z$）．
当 $x=0$ 时，$0\notin \left\{x\left|x=k\pi-\dfrac{\pi}{4}\right.,k\in \mathbb Z\right\}$，但对A成立；
当 $x=\dfrac 34\pi$ 时，$\dfrac 34 \pi \in \left\{x\left|x=k\pi-\dfrac{\pi}{4},\right.k\in\mathbb Z\right\}$，但B不成立；
当 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 时，$\dfrac{\pi}{4}\notin\left\{x\left|x=k\pi-\dfrac{\pi}{4},\right.k\in \mathbb Z\right\}$，但对C成立．
对D，因为$$\begin{cases}\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=0,\\\sin x=\cos x\ne 0,\end{cases}$$而 $\sin x$ 与 $\cos x$ 不可能同时为 $0$，所以等价于$$\sin x+\cos x=0,$$于是D与题设方程解集相同．
当 $x=0$ 时，$0\notin \left\{x\left|x=k\pi-\dfrac{\pi}{4}\right.,k\in \mathbb Z\right\}$，但对A成立；
当 $x=\dfrac 34\pi$ 时，$\dfrac 34 \pi \in \left\{x\left|x=k\pi-\dfrac{\pi}{4},\right.k\in\mathbb Z\right\}$，但B不成立；
当 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 时，$\dfrac{\pi}{4}\notin\left\{x\left|x=k\pi-\dfrac{\pi}{4},\right.k\in \mathbb Z\right\}$，但对C成立．
对D，因为$$\begin{cases}\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=0,\\\sin x=\cos x\ne 0,\end{cases}$$而 $\sin x$ 与 $\cos x$ 不可能同时为 $0$，所以等价于$$\sin x+\cos x=0,$$于是D与题设方程解集相同．
题目
答案
解析
备注
