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已知 $\theta$ 是第三象限角，且 $\sin{\dfrac{\theta}{4}}<\cos{\dfrac{\theta}{4}}$，则 $\dfrac{\theta}{4}$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left(2k\pi+\dfrac{\pi}{4},2k\pi+\dfrac{3\pi}{8}\right)\cup\left(\right),k\in \mathbb Z$
B: $\left(2k\pi+\dfrac{5\pi}{4},2k\pi+\dfrac{11\pi}{8}\right)\cup\left(2k\pi+\dfrac{7\pi}{4},2k\pi+\dfrac{15\pi}{8}\right),k\in \mathbb Z$
C: $\left(k\pi+\dfrac{\pi}{4},k\pi+\dfrac{3\pi}{8}\right)\cup\left(k\pi+\dfrac{3\pi}{4},k\pi+\dfrac{7\pi}{8}\right),k\in \mathbb Z$
D: $\left(4k\pi+\dfrac{5\pi}{4},4k\pi+\dfrac{11\pi}{8}\right)\cup\left(4k\pi+\dfrac{7\pi}{4},4k\pi+\dfrac{15\pi}{8}\right),k\in \mathbb Z$
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
因为$$2k\pi+\pi<\theta <2k\pi+\dfrac{3\pi}{2},$$所以$$\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\theta}{4}<\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{3\pi}{8},k\in \mathbb Z,$$所以 $\dfrac{\theta}{4}$ 所在的区域如图所示的阴影部分．又因为 $\sin \dfrac{\theta}{4}<\cos \dfrac{\theta}{4}$，所以 $\dfrac{\theta}{4}$ 的取值范围是$$\left(2k\pi+\dfrac{5\pi}{4},2k\pi+\dfrac{11\pi}{8}\right)\cup\left(2k\pi+\dfrac{7\pi}{4},2k\pi+\dfrac{15\pi}{8}\right),k\in \mathbb Z$$
题目 答案 解析 备注
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