已知 $f(x)$ 是定义在实数集上的函数，$f(3)=-\sqrt 3$，且 $f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)$，则 $f(2009)=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
当 $x=1$ 时，$$f(3)[1-f(1)]=1+f(1),$$所以$$-\sqrt 3[1-f(1)]=1+f(1),$$故$$f(1)=\dfrac{1+\sqrt 3}{\sqrt 3-1}=2+\sqrt 3.$$又因为$$f(x+2)=\dfrac{1+f(x)}{1-f(x)},$$所以\[\begin{split}f(x+4)&=\dfrac{1+f(x+2)}{1-f(x+2)}\\&=\dfrac{1+\dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}}{1-\dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}}\\&=\dfrac 2{-2f(x)}\\&=-\dfrac 1{f(x)},\end{split}\]于是$$f(x+8)=-\dfrac 1{f(x+4)}=-\dfrac 1{-\dfrac 1{f(x)}}=f(x),$$故$$f(2009)=f(251\cdot 8+1)=f(1)=2+\sqrt 3.$$
题目
答案
解析
备注
