在 $\triangle ABC$ 中，$\cos A+\sqrt 2\cos B+\sqrt 2\cos C$ 的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学优特（U-Test）数学测试试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意，所求代数式\[\begin{split} M&=\cos A+2\sqrt 2\cos\dfrac{B+C}2\cos\dfrac{B-C}2\\
&\leqslant 1-2\sin^2\dfrac A2+2\sqrt 2\sin\dfrac A2\\
&\leqslant 2,\end{split}\]等号当 $B=C$，且 $\sin\dfrac A2=\dfrac{\sqrt 2}2$，即 $(A,B,C)=\left(\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}4\right)$ 时取得．因此所求代数式的最大值为 $2$．
&\leqslant 1-2\sin^2\dfrac A2+2\sqrt 2\sin\dfrac A2\\
&\leqslant 2,\end{split}\]等号当 $B=C$，且 $\sin\dfrac A2=\dfrac{\sqrt 2}2$，即 $(A,B,C)=\left(\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}4\right)$ 时取得．因此所求代数式的最大值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
