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设 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 为两个相互垂直的单位向量．已知 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OR}=r\overrightarrow a+k\overrightarrow{b}$．若 $\triangle{PQR}$ 为等边三角形，则 $k,r$ 的取值为 \((\qquad)\)
A: $k=r=\dfrac{-1\pm \sqrt 3}{2}$
B: $k=\dfrac{1\pm \sqrt 3}{2},r=\dfrac{1\pm \sqrt 3}{2}$
C: $k=r=\dfrac{1\pm \sqrt 3}{2}$
D: $k=\dfrac{-1\pm \sqrt 3}{2},r=\dfrac {-1\pm \sqrt 3}{2}$
【难度】
【出处】
2010年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
由$$|PQ|=|QR|=|PR|,$$即$$\sqrt{r^2+(k-1)^2}=\sqrt{(r-1)^2+k^2}=\sqrt 2,$$解得 $r=k=\dfrac{1\pm \sqrt 3}{2}$．
题目 答案 解析 备注
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