设直角梯形的高为 $2$，其两条对角线交点为 $P$，以它的两底中点的连线为直径的圆与此梯形的直腰相交于点 $E$ 和 $F$，则 $P$ 到 $E$ 和 $F$ 这两点的距离之和为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分
【标注】
【答案】
B
【解析】
如图，直角梯形 $ABCD$ 中，$AB \parallel CD$，$\angle BAD=\angle ADC=90^\circ$，$AD=2$，$AB=2a$，$CD=2b$．$M,N$ 分别为线段 $AB,CD$ 的中点，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $P$．以 $MN$ 为直径的圆与线段 $AD$ 交于 $E,F$ 两点，与线段 $CD$ 交于 $N,G$ 两点，连接 $MG$．延长 $FP$，交圆于点 $K$，连接 $MK$．设直线 $ME$ 与 $NF$ 交于点 $Q$，直线 $MF$ 与 $NE$ 交于点 $H$，作 $QR\perp AD$ 于 $R$．
易知，$M,P,N$ 三点共线．因为$$\dfrac{ME}{EQ}\cdot\dfrac{QF}{FN}\cdot\dfrac{NP}{PM}=\dfrac{a}{QR}\cdot\dfrac{QR}{b}\cdot\dfrac{b}{a}=1,$$故直线 $MF,NE,QP$ 交于一点 $H$，而 $H$ 是 $\triangle QMN$ 的垂心，所以$$\angle EFM=\angle ENM=\angle PFH,$$因而 $\overparen{ME}=\overparen{MK}$，进而有 $PE=PK$．因为$$\overparen{FK}=\overparen{ME}+\overparen{MK}+\overparen{EF}=\overparen{ME}+\overparen{EF}+\overparen{FG}=\overparen{MG},$$所以$$PE+PF=PK+PF=FK=MG=AD=2.$$
易知，$M,P,N$ 三点共线．因为$$\dfrac{ME}{EQ}\cdot\dfrac{QF}{FN}\cdot\dfrac{NP}{PM}=\dfrac{a}{QR}\cdot\dfrac{QR}{b}\cdot\dfrac{b}{a}=1,$$故直线 $MF,NE,QP$ 交于一点 $H$，而 $H$ 是 $\triangle QMN$ 的垂心，所以$$\angle EFM=\angle ENM=\angle PFH,$$因而 $\overparen{ME}=\overparen{MK}$，进而有 $PE=PK$．因为$$\overparen{FK}=\overparen{ME}+\overparen{MK}+\overparen{EF}=\overparen{ME}+\overparen{EF}+\overparen{FG}=\overparen{MG},$$所以$$PE+PF=PK+PF=FK=MG=AD=2.$$
题目
答案
解析
备注
