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函数 $f(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x^2+x+1}$ 的最大值与最小值的和是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{5}{3}$
B: $\dfrac{2}{3}$
C: $1$
D: $-\dfrac{2}{3}$
【难度】
【出处】
2016年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    分式函数
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    判别式法
【答案】
B
【解析】
设 $y=\dfrac{x^2-x-1}{x^2+x+1}$，则有$$(y-1)x^2+(y+1)x+y+1=0,$$进而$$\Delta=(y+1)^2-4(y-1)(y+1)=(y+1)(-3y+5)\geqslant 0,$$于是 $y$ 的最大值为 $\dfrac 53$，最小值为 $-1$．
题目 答案 解析 备注
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