当平面上的点 $(x,y)$ 的坐标 $x,y$ 都为有理数时，该点称为有理点．设 $r$ 是给定的正实数，则原 $(x-1)^{2}+(y-\sqrt 2)^{2}=r^{2}$ 上的有理点 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $(a,b)$，$(c,d)$ 为这个圆上的两个有理点，则\[(a-1)^{2}+(b-\sqrt 2)^{2}=(c-1)^{2}+(d-\sqrt 2)^{2},\]整理得\[2\sqrt 2(b-d)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}+2(c-a).\]显然等式右边是有理数，因此当且仅当 $b=d$ 时，等式的左边是有理数，此时$$a\ne c,\text {且}a+c=2,$$由此得这两个有理点关于直线 $x=1$ 对称，而圆上与 $(a,b)$ 关于 $x-1$ 对称的点最多只有一个．
题目
答案
解析
备注
