如果直线 $ax-by+1=0$ 平分圆 $C:x^2+y^2+2x-4y+1=0$ 的周长，那么 $ab$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
因为圆的周长被直线平分，所以圆心在直线上．
因为圆心坐标为 $(-1,2)$，所以有$$-a-2b+1=0,$$即$$a+2b=1,$$故$$\begin{split}ab&=(1-2b)b=-2b^2+b\\&=-2\left(b-\dfrac14\right)^2+\dfrac18\leqslant\dfrac18,\end{split}$$当且仅当 $b=\dfrac14$ 时等号成立，故 $ab\in\left(-\infty,\dfrac18\right]$．
因为圆心坐标为 $(-1,2)$，所以有$$-a-2b+1=0,$$即$$a+2b=1,$$故$$\begin{split}ab&=(1-2b)b=-2b^2+b\\&=-2\left(b-\dfrac14\right)^2+\dfrac18\leqslant\dfrac18,\end{split}$$当且仅当 $b=\dfrac14$ 时等号成立，故 $ab\in\left(-\infty,\dfrac18\right]$．
题目
答案
解析
备注
