已知 $a,b,c$ 互不相等，且 $a^2,b^2,c^2$ 成等差数列，则 $\dfrac 1{b+c},\dfrac 1{a+c},\dfrac 1{a+b}$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
由于\[\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{2}{a+c}\]等价于\[(c+a)(a+b)+(b+c)(c+a)=2(a+b)(b+c),\]也即\[a^2+c^2=2b^2\]于是 $\dfrac 1{b+c},\dfrac 1{a+c},\dfrac 1{a+b}$ 构成等差数列．
由于\[\dfrac{1}{b+c}\cdot\dfrac{1}{a+b}=\left(\dfrac{1}{a+c}\right)^2\]等价于\[(b+c)(a+b)=(a+c)^2,\]也即\[ab+bc+b^2=a^2+c^2+ac,\]也即\[(b-a)(b-c)=0,\]而 $a,b,c$ 互不相等，于是 $\dfrac 1{b+c},\dfrac 1{a+c},\dfrac 1{a+b}$ 不构成等比数列．
由于\[\dfrac{1}{b+c}\cdot\dfrac{1}{a+b}=\left(\dfrac{1}{a+c}\right)^2\]等价于\[(b+c)(a+b)=(a+c)^2,\]也即\[ab+bc+b^2=a^2+c^2+ac,\]也即\[(b-a)(b-c)=0,\]而 $a,b,c$ 互不相等，于是 $\dfrac 1{b+c},\dfrac 1{a+c},\dfrac 1{a+b}$ 不构成等比数列．
题目
答案
解析
备注
