假设集合 $A$ 中有 $7$ 个元素，不妨设为 $a_1<a_2<\cdots<a_7$．考虑 $A$ 的所有 $k (k=2,3,4,5,6)$ 元子集，共有\[2^7-2-7=119\]个．记 $A$ 的每个 $k (k=2,3,4,5,6)$ 元子集元素之和的最小值为 $m$，最大值为 $M$，则\begin{align*}
m&=a_1+a_2,\\
M&\leqslant a_1+a_2+25+24+23+22+21\\
&=a_1+a_2+115,
\end{align*}故其中必有两个子集元素之和相同．
考虑集合 $A$ 的 $6$ 元子集 $\{25,24,23,21,18,12\}$，满足题意．
由此可知，选项A正确，选项B错误．
设集合 $A$ 中有 $n\leqslant 6$ 个元素 $a_i$（$i=1,2,\cdots,n$），其中\[a_1<a_2<\cdots<a_n,\]这 $n$ 个元素中任意 $k$ 个元素之和不小于 $2^k-1$．否则这 $k$ 个元素组成的集合的非空子集有 $2^k-1$ 个，必然会出现两个子集元素之和相等，不符合题意．
记 $b_i=a_i-2^{i-1}$（$i=1,2,\cdots,n$），则数列 $\left\{b_i\right\}$ 的前 $k$ 项和 $D_k\geqslant 0$（$k=1,2,\cdots,n$），因此\begin{align*}
&\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{2^{i-1}}}-\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{a_i}}\\
={}&\dfrac{a_1-1}{a_1}+\dfrac{a_2-2}{2a_2}+\dfrac{a_3-2^2}{2^2\cdot a_3}+\cdots+\dfrac{a_n-2^{n-1}}{2^{n-1}\cdot a_n}\\
={}&\dfrac{b_1}{a_1}+\dfrac{b_2}{2a_2}+\dfrac{b_3}{2^2\cdot a_3}+\cdots+\dfrac{b_n}{2^{n-1}\cdot a_n}\\
={}&\dfrac{D_1}{a_1}+\dfrac{D_2-D_1}{2a_2}+\dfrac{D_3-D_2}{2^2\cdot a_3}+\cdots+\dfrac{D_n-D_{n-1}}{2^{n-1}\cdot a_n}\\
={}&D_1\cdot\left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{2a_2}\right)+D_2\cdot\left(\dfrac{1}{2a_2}-\dfrac{1}{2^2a_3}\right)+\cdots+D_{n-1}\cdot\left(\dfrac{1}{2^{n-2}a_{n-1}}-\dfrac{1}{2^{n-1}a_n}\right)+\dfrac{D_n}{2^{n-1}a_n}\\
\geqslant{}&0,
\end{align*}等号当 $a_i=2^{i-1} (i=1,2,3,\cdots,n)$ 时取得．因此 $\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}$ 的最大值为\[\sum\limits_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{2^{i-1}}}=2-\dfrac{1}{2^{n-1}},\]因此\[\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dfrac{1}{a_4}+\dfrac{1}{a_5}\leqslant \dfrac{31}{16},\]选项 D 正确，选项 C 错误．