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如图，在等腰梯形中，$AB\parallel CD$，且 $AB=2CD$．设 $\angle DAB=\theta$，$\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，以 $A,B$ 为焦点且过点 $D$ 的双曲线的离心率为 $e_{1}$，以 $C,D$ 为焦点且过点 $A$ 的椭圆的离心率为 $e_{2}$，则 \((\qquad)\)
A: 随着角度 $\theta$ 的增大，$e_{1}$ 增大，$e_{1}e_{2}$ 为定值
B: 随着角度 $\theta$ 的增大，$e_{1}$ 减小，$e_{1}e_{2}$ 为定值
C: 随着角度 $\theta$ 的增大，$e_{1}$ 增大，$e_{1}e_{2}$ 也增大
D: 随着角度 $\theta$ 的增大，$e_{1}$ 减小，$e_{1}e_{2}$ 也减小
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $AB=2AD=2$，连接 $BD$，则\[\begin{split}&e_{1}=\dfrac{2AD}{AD+BD}=\dfrac{2\times 1}{1+\sqrt{(2-\cos\theta)^{2}+\sin^{2}\theta}}=\dfrac{2}{1+\sqrt{5-4\cos\theta}},\\& e_{2}=\dfrac{CD}{BD-AD}=\dfrac{2-2\cos\theta}{\sqrt{5-4\cos\theta}-1}.\end{split}\]一方面，由上述式子可知 $e_{1}$ 随着 $\theta$ 增大而减小；另一方面，\[e_{1}\cdot e_{2}=\dfrac{2(2-2\cos\theta)}{(5-4\cos\theta)-1}=\dfrac{4-\cos\theta}{4-\cos\theta}=1\]为定值．
题目 答案 解析 备注
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