若 $\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 所对的边 $a$、$b$、$c$ 成等比数列，则 $\dfrac{\sin A \cot C +\cos A}{\sin B \cot C +\cos B}$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $a$、$b$、$c$ 的公比为 $q$，则 $b=aq, c=aq^2$，则\[\begin{split}&\dfrac{\sin A \cot C +\cos A}{\sin B \cot C +\cos B}\\&=\dfrac{\sin A \cos C +\cos A \sin C}{\sin B \cos C +\cos B \sin C}\\&=\dfrac{\sin(A+C)}{\sin (B+C)}\\&=\dfrac{\sin B}{\sin A}=\dfrac b a = q.\end{split}\]由 $\begin{cases}a+b>c,\\b+c>a\end{cases}$ 有 $\begin{cases}a+aq>aq^2,\\aq+aq^2>a,\end{cases}$ 即 $\begin{cases}q^2-q-1<0,\\q^2+q-1>0,\end{cases}$ 解得 $\dfrac{\sqrt 5-1}{2}<q<\dfrac{\sqrt 5+1}{2}$．
题目
答案
解析
备注
