已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，在对角线 $A_1D$ 上取点 $M$，在 $CD_1$ 取点 $N$，使得线段 $MN$ 平行于对角面 $A_1ACC_1$，则 $|MN|$ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
作 $MM_1 \perp AD$ 于 $M_1$，作 $NN_1 \perp DC$ 于 $N_1$，则易证 $M_1N_1 \parallel AC$，设 $DM_1 = DN_1 =x$，则 $MM_1 = x, NN_1=1-x$，过 $M$ 作 $MH \perp NN_1$ 于 $H$，，$$NH=1-2x,M_1N_1 = \sqrt 2 x,$$勾股定理：\[MN^2 = \left({\sqrt 2}x\right)^2+(1-2x)^2=6\left(x-\dfrac 1 3\right)^2 + \dfrac 1 3.\]
题目
答案
解析
备注
