设点 $A(1,0)$，$B(2,1)$，如果直线 $l:ax+by=1$ 与线段 $AB$ 有一个公共点，那么 $a^2+b^2$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
原点到直线 $l$ 的距离 $d=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$，所以\[a^2+b^2=\dfrac{1}{d^2}.\]解法1 设直线 $l$ 与 $AB$ 交于 $P$，则 $d=OC\leqslant OP\leqslant OB=\sqrt 5$，所以 $a^2+b^2\geqslant \dfrac 15$，选A．解法2 如图，视 $l$ 为线段 $OQ$ 的垂直平分线，则 $Q$ 点位于图示的阴影区域内，
于是 $a^2+b^2=\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac 12 OQ\right)^2}\geqslant \dfrac 15$，选A．
于是 $a^2+b^2=\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac 12 OQ\right)^2}\geqslant \dfrac 15$，选A．
题目
答案
解析
备注
