抛物线 $y=ax^2+bx+1$ 的参数 $a$、$b$ 满足 $8a^2+4ab=b^2$，则当 $a$、$b$ 变动时，抛物线的顶点一定在 \((\qquad)\) 上．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
抛物线 $y=ax^2+bx+1$ 顶点的坐标为 $\left (-\dfrac b{2a},\dfrac {4a-b^2}{4a}\right )$，设 $x=-\dfrac b{2a},y=\dfrac {4a-b^2}{4a}$，则有 ${\dfrac ba} =-2x,y=1-\dfrac {b^2}{4a}=1+\dfrac {bx}2$．因为 $a\ne 0$，所以 $a,b$ 满足的条件等价于 $8+\dfrac {4b}a=b\left (\dfrac ba\right)^2$，于是有\[8+4(-2x)=b(-2x)^2=4x(2y-2).\]即 $xy=1$．故选B．
题目
答案
解析
备注
