方程 $a^{-x}={\log_a}x$ $(a>0,a\neq 1)$ 的实数根的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
考虑函数\[f(x)=a^{-x}-{\log_a}x,\]该函数当 $0<a<1$ 时单调递增，当 $a>1$ 时单调递减，且\[\begin{split}
\lim_{x\to 0^+}f(x)&=\begin{cases} -\infty,&0<a<1,\\ +\infty,&a>1,\end{cases}\\
\lim_{x\to +\infty}f(x)&=\begin{cases} +\infty,&0<a<1,\\
-\infty,&a>1,\end{cases}\end{split}\]因此题中方程的实根个数为 $1$．
\lim_{x\to 0^+}f(x)&=\begin{cases} -\infty,&0<a<1,\\ +\infty,&a>1,\end{cases}\\
\lim_{x\to +\infty}f(x)&=\begin{cases} +\infty,&0<a<1,\\
-\infty,&a>1,\end{cases}\end{split}\]因此题中方程的实根个数为 $1$．
题目
答案
解析
备注
