数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 满足 ${a_1} = 1$，${a_{n + 1}} = r \cdot {a_n} + r$（$n \in {{\mathbb{N}}^*}$，$r \in {\mathbb{R}}$ 且 $r \ne 0$），则“$r = 1$”是“数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 成等差数列”的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
充分性显然．
考虑必要性：若 数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为等差数列，则 $a_{n+1}-a_n$ 为定值，即 $(r-1)\cdot a_n+r$ 为定值．
此时有 $a_n$ 为定值或 $r=1$，解得 $r=\dfrac 12$ 或 $r=1$．
更直接的思考方式为考虑通项：
若 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为等差数列，则 $a_n=1+(n-1)d$，因此$$1+nd=r[1+(n-1)d]+r,$$整理得$$1-r(1-d)-r+(d-rd)n=0,$$从而$$\begin{cases}d-rd=0,\\ 1-r(1-d)-r=0.\end{cases}$$解得 $\begin{cases} d=0,\\ r=\dfrac 12,\end{cases}$ 或 $\begin{cases} d=1,\\ r=1.\end{cases}$
考虑必要性：若 数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为等差数列，则 $a_{n+1}-a_n$ 为定值，即 $(r-1)\cdot a_n+r$ 为定值．
此时有 $a_n$ 为定值或 $r=1$，解得 $r=\dfrac 12$ 或 $r=1$．
更直接的思考方式为考虑通项：
若 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为等差数列，则 $a_n=1+(n-1)d$，因此$$1+nd=r[1+(n-1)d]+r,$$整理得$$1-r(1-d)-r+(d-rd)n=0,$$从而$$\begin{cases}d-rd=0,\\ 1-r(1-d)-r=0.\end{cases}$$解得 $\begin{cases} d=0,\\ r=\dfrac 12,\end{cases}$ 或 $\begin{cases} d=1,\\ r=1.\end{cases}$
题目
答案
解析
备注
