已知整数集合 $M=\{m\mid x^2+mx-36=0,x\in\mathbb Z\}$，集合 $A$ 满足条件：
① $\varnothing \subsetneqq A \subseteq M$；
② 若 $a\in A$，则 $-a \in A$．
则所有这样的集合 $A$ 的个数为 \((\qquad)\)
① $\varnothing \subsetneqq A \subseteq M$；
② 若 $a\in A$，则 $-a \in A$．
则所有这样的集合 $A$ 的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $\alpha,\beta$ 是方程 $x^2+mx-36=0$ 的两根，则 $\alpha\cdot \beta=-36$．
于是，若 $|\alpha|=1$，$|\beta|=36$，有 $m=\pm 35$．
若 $|\alpha|=2$，$|\beta|=18$，有 $m=\pm 16$．
若 $|\alpha|=3$，$|\beta|=12$，有 $m=\pm 9$．
若 $|\alpha|=4$，$|\beta|=9$，有 $m=\pm 5$．
若 $|\alpha|=6$，$|\beta|=6$，有 $m=0$．
因此$$M=\{0\}\cup \{-5,5\}\cup\{-9,9\}\cup\{-16,16\}\cup\{-35,35\}.$$由条件 ① 知 $A \neq \varnothing$．
由条件 ② 知 $A$ 是由一些成对的相反数所成之集，所以 $M$ 的 $5$ 对相反数共能组成 $2^5-1$ 个不同的非空集合 $A$．
于是，若 $|\alpha|=1$，$|\beta|=36$，有 $m=\pm 35$．
若 $|\alpha|=2$，$|\beta|=18$，有 $m=\pm 16$．
若 $|\alpha|=3$，$|\beta|=12$，有 $m=\pm 9$．
若 $|\alpha|=4$，$|\beta|=9$，有 $m=\pm 5$．
若 $|\alpha|=6$，$|\beta|=6$，有 $m=0$．
因此$$M=\{0\}\cup \{-5,5\}\cup\{-9,9\}\cup\{-16,16\}\cup\{-35,35\}.$$由条件 ① 知 $A \neq \varnothing$．
由条件 ② 知 $A$ 是由一些成对的相反数所成之集，所以 $M$ 的 $5$ 对相反数共能组成 $2^5-1$ 个不同的非空集合 $A$．
题目
答案
解析
备注
