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已知 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底，那么数 $\sqrt{\mathrm{e}},\dfrac1{\sqrt{\mathrm{e}}},\sin\sqrt{\mathrm{e}},\tan\sqrt{\mathrm{e}}$ 的大小关系是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac1{\sqrt{\mathrm{e}}}<\sin\sqrt{\mathrm{e}}<\sqrt{\mathrm{e}}<\tan\sqrt{\mathrm{e}}$
B: $\sin\sqrt{\mathrm{e}}<\dfrac1{\sqrt{\mathrm{e}}}<\sqrt{\mathrm{e}}<\tan\sqrt{\mathrm{e}}$
C: $\tan\sqrt{\mathrm{e}}<\dfrac1{\sqrt{\mathrm{e}}}<\sin\sqrt{\mathrm{e}}<\sqrt{\mathrm{e}}$
D: $\tan\sqrt{\mathrm{e}}<\sin\sqrt{\mathrm{e}}<\dfrac1{\sqrt{\mathrm{e}}}<\sqrt{\mathrm{e}}$
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    函数与方程
    >
    特殊函数
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    任意角的三角函数定义
【答案】
C
【解析】
根据题意有$$\dfrac{\pi}{2}<\sqrt{\rm{e}}<\dfrac{2\pi}3,$$所以$$\tan\sqrt{\mathrm{e}}<0<\dfrac1{\sqrt{\mathrm{e}}}<\dfrac{2\sqrt 3}4=\sin\dfrac{\pi}3<\sin\sqrt{\mathrm{e}}<1<\sqrt{\mathrm{e}}.$$
题目 答案 解析 备注
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