若方程 $a^x+2x-4=0(a>0,a\ne1)$ 的所有根为 $u_1,u_2,\ldots,u_k$，其中 $k$ 为正整数，方程 ${\log_a}2x+x-2=0(a>0,a\ne1)$ 的所有根为 $v_1,v_2,\cdots,v_l$，其中 $l$ 为正整数，则$$\dfrac {u_1+u_2+\cdots+u_k+v_1+v_2+\cdots+v_l}{k+l}$$的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
方程 $a^x+2x-4=0$ 等价于 $\dfrac {a^x}2=2-x$，其根即为 $y=\dfrac {a^x}2$ 与 $y=2-x$ 的交点的横坐标．$\log_a{2x}+x-2=0$ 等价于 $\log_a{2x}=2-x$，其根即为 $y=\log_a{2x}$ 与 $y=2-x$ 的交点的横坐标．因为 $y=\dfrac {a^x}2$ 与 ${\log_a}{2x}$ 互为反函数，所以它们的图象关于 $y=x$ 对称，因此所有根的算术平均值就是 $y=x$ 与 $y=2-x$ 交点的横坐标 $1$，故选C．
题目
答案
解析
备注
