方法一：设一个“好子集”中有 $i(i=1,2,3,4,5)$ 个偶数，则奇数的数目可以有 $j=0,1,\cdots,i$ 个，因此“好子集”的数目为\[\begin{split}\sum\limits_{i=1}^5\left[\mathrm C_5^i\sum\limits_{j=0}^i\mathrm C_5^j\right]&=\mathrm C_5^1(\mathrm C_5^0+\mathrm C_5^1)+\mathrm C_5^2(\mathrm C_5^0+\mathrm C_5^1+\mathrm C_5^2)+\mathrm C_5^3(\mathrm C_5^0+\mathrm C_5^1+\mathrm C_5^2+\mathrm C_5^3)\\&+\mathrm C_5^4(\mathrm C_5^0+\mathrm C_5^1+\mathrm C_5^2+\mathrm C_5^3+\mathrm C_5^4)+\mathrm C_5^5(\mathrm C_5^0+\mathrm C_5^1+\mathrm C_5^2+\mathrm C_5^3+\mathrm C_5^4+\mathrm C_5^5)\\&=637.\end{split}\]故选D．
方法二： $S$ 的非空子集共有 $2^{10}-1=1023$（个），根据子集中偶数与奇数个数的多少可分为三类：$(1)$ 偶数多于奇数；$(2)$ 奇数多于偶数；$(3)$ 奇数与偶数个数相等．由于 $S$ 中的 $10$ 个元素偶数与奇数的个数相等，所以 $(1)$、$(2)$ 的子集数相等．现考虑第三类，分别考虑含有 $2$、$4$、$6$、$8$、$10$ 个元素子集的数目，则共有子集数为$$\mathrm C_5^1\cdot \mathrm C_5^1+\mathrm C_5^2\cdot \mathrm C_5^2+\mathrm C_5^3\cdot \mathrm C_5^3+\mathrm C_5^4\cdot \mathrm C_5^4+1=251.$$所以，第一类子集数为 $\dfrac 12\left(1023-251\right)=386$．
因此，“好子集”的数目为 $386+251=637$（个）．故选D．