设不定方程 $x^2+y^2+z^2-xyz+10=0$ 的正整数解 $(x,y,z)$ 中满足 $x$、$y$、$z$ 均大于 $2008$ 的不同解的数目为 $k$，则 $k$ 满足 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
由题意知 $(x_0,y_0,z_0)=(3,4,5)$ 是原不定方程的一个特解．对于原不定方程的任意一个正整数解 $(x_1,y,z)$，假设 $x_1\leqslant y\leqslant z$，且 $x_1<z$．设关于 $x$ 的二次方程$$x^2-yz\cdot x+y^2+z^2+10=0$$的两个根为 $x_1,x_2$，由韦达定理知，$$x_1+x_2=yz,x_1x_2=y^2+z^2+10>z^2,$$因此 $x_2$ 是正整数，且大于 $z$，于是 $(x_2,y,z)$ 也是原不定方程的一个解．由于原不定方程是轮换对称的，所以 $(y,z,x_2)$ 也是它的解，并且它是由小到大排列的．如此反复利用上面的结论，可以由一个特解得到无穷多的解，因此满足 $x,y,z$ 均大于 $2008$ 的解有无穷多个．故选 D．
题目
答案
解析
备注
