函数 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 上的单调递增函数，当 $n\in {\mathbb N}^*$ 时，$f(n)\in {\mathbb N}^*$，且 $f(f(n))=3n$，则 $f(1)$ 的值等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
（用排除法）令 $n=1$，则得 $f(f(x))=3$．若 $f(1)=1$，则$$f(f(1))=f(1)=3,$$与 $f(1)=1$ 矛盾；
若 $f(1)=3$，则$$f(f(1))=f(3)=3,$$与 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增矛盾；
若 $f(1)=4$，则$$f(f(1))=f(4)=3,$$也与 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增矛盾．故选B．
若 $f(1)=3$，则$$f(f(1))=f(3)=3,$$与 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增矛盾；
若 $f(1)=4$，则$$f(f(1))=f(4)=3,$$也与 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增矛盾．故选B．
题目
答案
解析
备注
