使得 $\dfrac {x+1}{x^2-3x+3}$ 的值为整数的无理数 $x$ 的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $\dfrac {x+1}{x^2-3x+3}=k$，则$$kx^2-(3k+1)x+3k-1=0.$$若 $k=0$，则 $x=-1$；若 $k\ne 0$，由 $\Delta \geqslant 0$，得$$\dfrac {5-2\sqrt 7}{3}\leqslant k\leqslant \dfrac {5+2\sqrt 7}{3},$$则 $k$ 只能取 $0,1,2,3.$ 当 $k=1$ 时，$x=2\pm \sqrt 2$；当 $k=2$ 时，$x=1,\dfrac 52$；当 $k=3$ 时，$x=2,\dfrac 43$，因此这种无理数只有 $x=2\pm \sqrt 2.$ 故选B．
题目
答案
解析
备注
