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如果实数 $x,y$ 满足关系 $\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)\leqslant1$，那么  \((\qquad)\)
A: $x+y\geqslant0$
B: $x+y\leqslant0$
C: $x-y\geqslant0$
D: $x-y\leqslant0$
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
  • 数学竞赛
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    函数与方程
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【答案】
A
【解析】
根据题意，有\[\sqrt{x^2+1}-x\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{y^2+1}-y},\]即\[\sqrt{(-x)^2+1}+(-x)\leqslant \sqrt{y^2+1}+y,\]而函数\[f(x)=\sqrt{x^2+1}+x,\]为 $\mathbb R$ 上的单调递增函数，因此\[-x\leqslant y,\]即 $x+y\geqslant 0$．
题目 答案 解析 备注
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