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若存在钝角 $\alpha $，使得 $\sin \alpha - \sqrt 3 \cos \alpha = {\log _2}\left( {{x^2} - x + 2} \right)$ 成立，则实数 $x$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[ {0, 1} \right]$
B: $\left( { - 1, 2} \right)$
C: $\left[ { - 1, 0} \right) \cup \left( {1, 2} \right]$
D: $\left( { - 1, 0} \right) \cup \left( {1, 2} \right)$
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    对数函数
【答案】
C
【解析】
由 $\alpha$ 为钝角，则 $\alpha \in \left( {\dfrac{\pi}{2}, \pi} \right)$，于是$$\sin \alpha - \sqrt 3 \cos \alpha = 2\sin \left( {\alpha - \dfrac{\pi}{3}} \right) \in \left( {1, 2} \right],$$因此 $2 < {x^2} - x + 2 \leqslant 4$，解得 $x \in \left[ { - 1, 0} \right) \cup \left( {1, 2} \right]$．
题目 答案 解析 备注
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