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已知数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=\left(\dfrac 23\right)^{n-1}\left[\left(\dfrac 23\right)^{n-1}-1\right]$，则下列表述正确的是 \((\qquad)\)
A: 最大项为 $a_1$，最小项为 $a_4$
B: 最大项为 $a_1$，最小项不存在
C: 最大项不存在，最小项为 $a_3$
D: 最大项为 $a_1$，最小项为 $a_3$
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
由题意可得 $a_1=0,a_2=-\dfrac 29,a_3=-\dfrac{20}{81}$．当 $n\geqslant 3$ 时，$t=\left(\dfrac 23\right)^{n-1}$ 为减函数，且$$0<\left(\dfrac 23\right)^{n-1}\leqslant {\left(\dfrac 23\right)^2}<\dfrac 12.$$又因为 $a_n=t(t-1)$ 为 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 上的减函数，所以 $a_n$ 单调递增，即有$$0>a_n>a_{n-1}>\cdots>a_4>a_3.$$因此 $a_1$ 最大，$a_3$ 最小．故选D．
题目 答案 解析 备注
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