在直角坐标平面 $xOy$ 中，点 $A(5,0)$．对于某个正实数 $k$，存在函数 $f(x)=ax^2,a>0$，使得 $\angle QOA=2\angle POA$，这里 $P(1,f(1)),Q(k,f(k))$，则 $k$ 的取值范围为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
由于 $0<\angle QOA,\angle POA<\dfrac {\pi}2$，因此 $\angle QOA=2\angle POA$ 的充要条件是$$\tan \angle QOA=\tan 2\angle POA.$$由$$\tan \angle QOA=\tan 2\angle POA=\dfrac {2\tan \angle POA}{1-\tan^2\angle POA},$$结合$$\tan \angle POA=a,\tan \angle QOA=ak,$$得 $ak=\dfrac {2a}{1-a^2}$，即 $a=\sqrt {1-\dfrac 2k}$，因此 $k>2$．故选A．
题目
答案
解析
备注
