方程 $|x^2-3x+2|+|x^2+2x-3|=11$ 实数解的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
原方程可以转化为$$|x-1|(|x-2|+|x+3|)=11.$$当 $x\leqslant -3$ 时，方程转化为 $2x^2-x-12=0$，它的两个根都大于 $-3$，此时无解；
当 $-3<x\leqslant 1$ 时，方程转化为 $-5x+5=11$，所以 $x=-\dfrac 65$，满足题意；
当 $1<x\leqslant 2$ 时，方程转化为 $5x-5=11$，所以 $x=\dfrac {16}{5}>2$，此时无解；
当 $x>2$ 时，方程转化为 $2x^2-x-12=0$，其中一个根 $x=\dfrac {1+\sqrt {97}}{4}$ 满足题意．
综上所述，满足方程的实数解有 $2$ 个．故选C．
当 $-3<x\leqslant 1$ 时，方程转化为 $-5x+5=11$，所以 $x=-\dfrac 65$，满足题意；
当 $1<x\leqslant 2$ 时，方程转化为 $5x-5=11$，所以 $x=\dfrac {16}{5}>2$，此时无解；
当 $x>2$ 时，方程转化为 $2x^2-x-12=0$，其中一个根 $x=\dfrac {1+\sqrt {97}}{4}$ 满足题意．
综上所述，满足方程的实数解有 $2$ 个．故选C．
题目
答案
解析
备注
