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在 $\triangle ABC$ 中，$AB=2$，$AC=3$，$BC=4$，$I$ 为三角形的内心，若 $\overrightarrow{AI}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{BC}$，则 $3\lambda+6\mu$ 的值为 \((\qquad)\)
A: $1$
B: $2$
C: $3$
D: $4$
【难度】
【出处】
2017年清华大学429学术能力测试数学试题
【标注】
  • 数学竞赛
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    平面向量
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    平面向量
  • 知识点
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    向量
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    向量中的常用知识
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    三角形内心的向量表达
  • 知识点
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    向量
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    向量的线性表示
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    向量的换底公式
【答案】
C
【解析】
设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，根据内心的向量表达\[a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0},\]于是\[\begin{split}\overrightarrow{AI}&=\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}\\
&=\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 29\overrightarrow{AC}\\
&=\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 29\overrightarrow{AB}+\dfrac 29\overrightarrow{BC}\\
&=\dfrac 59\overrightarrow{AB}+\dfrac 29\overrightarrow{BC},\end{split}\]于是\[3\lambda+6\mu=3.\]
题目 答案 解析 备注
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