方法一：设方程的实根为 $\alpha $，另一根为 $a+b{\rm i}(a,b\in {\mathbb R})$，则\[\begin{split} x^2+(1-2{\rm i})x+3m-{\rm i}&=(x-\alpha )[x-(a+b{\rm i})]\\&=x^2-(\alpha +a+b{\rm i})x+\alpha (a+b{\rm i})\\&=0. \end{split}\]对比系数，得 $b=2,a\cdot b=-1,\alpha +a=-1$，因此 $\alpha =-\dfrac 12,a=-\dfrac 12$．所以另一根为 $-\dfrac 12+2{\rm i}$．故选C．
方法二：设两根为 $\alpha ,\beta $，其中 $\alpha $ 为实数，则$${\alpha }^2+(1-2{\rm i})\alpha +3m-{\rm i}=({\alpha }^2+\alpha +3m)-(2\alpha +1){\rm i}=0,$$即$$\begin{cases} {\alpha }^2+\alpha +3m=0,\\2\alpha +1=0, \end{cases}$$解得 $\alpha =-\dfrac 12$．因为$$\alpha +\beta =-(1-2{\rm i}),$$所以$$\beta =-(1-2{\rm i})-\alpha =-\dfrac 12+2{\rm i}.$$故选C．