数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 均为正整数等差数列，它们的公差分别为 $d_1$，$d_2$ 且均大于零，若集合 $A=\{a_n|n\in {\mathbb N}^*\}$，$B=\{b_n|n\in {\mathbb N}^*\}$，则两数列首项相等（即 $a_1=b_1=a$）是集合 $C=A\cap B$ 的元素也是一正整数等差数列的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
以 $[d_1,d_2]$ 记作 $d_1,d_2$ 的最小公倍数．若有 $a_1=b_1=a$，则对任意自然数 $n$，有 $a+n[d_1,d_2]\in C$．对任意 $c_n\in C$，则$$c_n=a+(n_1-1)d_1=a+(n_2-1)d_2,$$可知$$d_2|(n_1-1)d_1,d_1|(n_2-1)d_2,$$所以$$c_n=a+m[d_1,d_2],$$这里 $m$ 是一自然数，从而知条件是充分的．
但条件不是必要的．反例如下：$A=\{1,2,\cdots ,n,\cdots \},B=\{2,3,\cdots ,n+1,\cdots \},C=A\cap B=B$，但 $a_1\ne b_1$，故选B．
但条件不是必要的．反例如下：$A=\{1,2,\cdots ,n,\cdots \},B=\{2,3,\cdots ,n+1,\cdots \},C=A\cap B=B$，但 $a_1\ne b_1$，故选B．
题目
答案
解析
备注
