对于实数 $x,[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．已知正数数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1.S_n=\dfrac 12\left(a_n+\dfrac 1{a_n}\right)$，其中 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则 $\left[\dfrac 1{S_1}+\dfrac 1{S_2}+\cdots+ \dfrac 1{S_{100}}\right]=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
由\[\begin{split}S_n&=\dfrac 12\left( a_n+\dfrac 1{a_n}\right)\\&=\dfrac 12\left(S_n-S_{n-1}+\dfrac 1{S_n-S_{n-1}} \right), \end{split}\]得$$S_n+S_{n-1}=\dfrac 1{S_n-S_{n-1}},$$即 $S_n^2=S_{n-1}^2+1$．因为 $S_1=a_1=1$，所以 $S_n^2=n,S_n=\sqrt n$．因为$$\sqrt n+\sqrt {n-1}<2\sqrt n<\sqrt {n+1}+\sqrt n,$$所以\[\begin{split}\dfrac 1{\sqrt {n+1}+\sqrt n}&=\sqrt {n+1}-\sqrt n\\&<\dfrac 1{2\sqrt n}\\&<\dfrac 1{\sqrt n+\sqrt {n-1}}\\&=\sqrt n-\sqrt {n-1}. \end{split}\]令$$S=\dfrac 1{S_1}+\dfrac 1{S_2}+\cdots +\dfrac 1{S_{100}},$$则$$\dfrac S2>\sqrt {101}-1>9,$$解得 $S>18$．又因为 $S_1=a_1=1$，所以\[\begin{split} \dfrac S2-\dfrac 1{2S_1}&=\dfrac 1{2S_2}+\dfrac 1{2S_3}+\cdots +\dfrac 1{2S_{100}}\\&<\sqrt {100}-1\\&=9,\end{split}\]即 $S<2\left(9+\dfrac 12 \right)=19$，从而得 $[S]=18$．故选B．
题目
答案
解析
备注
