令 $f(x)=x^2+(a+1)x+a+b+1$，则$$\begin{cases}0<x_1<1,\\x_2>1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}f(0)>0,\\f(1)<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a+b+1>0,\\2a+b+3<0. \end{cases}$$作出可行区域，直线 $a+b+1=0$ 及 $2a+b+3=0$ 的交点为 $A(-2,1)$．如图所示，$(a,b)$ 的可行区域即为图中阴影部分（不含边界）．$\dfrac ba$ 的值为可行区域中的点 $(a,b)$ 与原点连线的斜率，显然它小于直线 $OA$ 的斜率 $-\dfrac 12$，大于直线 $2a+b+3=0$ 的斜率 $-2$（图中虚线所示范围），即 $-2<\dfrac ba<-\dfrac 12$．故选A．