方法一：在原函数图象上取点 $\left(1,\dfrac 1a-1\right)$，则点 $\left(\dfrac 1a-1,1\right)$ 在反函数图象上，它关于点 $(-1,3)$ 的对称点为 $\left(-1-\dfrac 1a,5\right)$，从而点 $\left(5,-1-\dfrac 1a\right)$ 在原函数图象上，所以有$$-1-\dfrac 1a=-\dfrac {5-a}{5-a-1},$$解得 $a=2$．故选A．
方法二：因函数 $y=-\dfrac {x-a}{x-a-1}$ 与其反函数的图象关于直线 $y=x$ 对称，故它们的对称中心必也关于 $y=x$ 对称．可知点 $(-1,3)$ 关于直线 $y=x$ 的对称点为 $(3,-1)$．又因为函数 $y=-\dfrac {x-a}{x-a-1}$，即$$y=-1+\dfrac 1{x-(a+1)},$$图象关于点 $(a+1,-1)$ 成中心对称图形，故 $a+1=3$，得 $a=2$．故选A．