方程 $x+2y+3z=100$ 的非负整数解的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
问题即不定方程 $2y+3z\leqslant 100$ 的非负整数解．如图，作规划，其中 $A(50,0)$，$B(2,32)$，$C(0,32)$．
设格点多边形 $OABC$ 内的格点数为 $a$，边界的格点数为 $b$，面积为 $S$，则有 $b=100$，$S=832$，由皮克公式，可得\[a=S+1-\dfrac 12b=783.\]再加上点 $(0,33)$，可得所求的解的个数为\[a+b+1=884.\]
设格点多边形 $OABC$ 内的格点数为 $a$，边界的格点数为 $b$，面积为 $S$，则有 $b=100$，$S=832$，由皮克公式，可得\[a=S+1-\dfrac 12b=783.\]再加上点 $(0,33)$，可得所求的解的个数为\[a+b+1=884.\]
题目
答案
解析
备注
