因为 $\triangle ABC$ 的周长为 $12$，所以 $\triangle ABC$ 的内切圆的半径为 $1$ 当且仅当 $\triangle ABC$ 的面积为 $\dfrac{12}{2} \cdot 1 =6 $．于是有方程组$$\begin{cases} \dfrac{1}{2} ab\sin C =6,\\ a+b+\sqrt{a^2 +b^2 -2ab\cos C} =12. \end{cases}$$由后一个方程得$$a^2 +b^2 -2ab\cos C= a^2+ b^2+144+2ab -24a-24b,$$整理化简得$$a+b=6 + \dfrac{1}{12}ab(1 + \cos C).$$由前一个方程得 $ab= \dfrac{12}{\sin C},$ 代入上式得 $a+b=6+ \dfrac{1+\cos C}{\sin C}$，于是 $a$ 和 $b$ 是方程$$x^{2} - \left (6+ \dfrac{1+\cos C}{\sin C} \right)x + \dfrac{12}{\sin C} =0$$的两个根．特别地，当 $C=90^\circ $ 时，解得 $a$、$b$ 为 $3$、$4$，此时 $c=5$，方程的判别式 $\Delta = 7^2 - 4\cdot 12=1.$ 角 $C$ 由 $90^\circ $ 增加一个非常小的角度，可以使得方程的判别式 $\Delta $ 仍大于 $0$，这时仍可由方程组解出 $a$、$b$，再得到 $c$，这时三边长与 $3$、$4$、$5$ 也相差很小．因此，有钝角三角形满足周长为 $12$，内切圆的半径为 $1$．故选D．