某人投了 $100$ 次篮，设投完前 $n$ 次篮时的命中率为 $r_n$．已知 $r_1=0$，$r_{100}=0.85$，则一定存在 $0<m<100$，使得 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
AD
【解析】
根据题意，有\[r_m=\dfrac{k}{m},\]其中 $k$ 为不超过 $85$ 的自然数且 $k\leqslant m-1$．
选项 A，记前 $k$ 次投篮中，投中的次数减去不中的次数为 $a_k$，则\[a_1=-1<0,a_{100}=85-15>0,\]而\[|a_{k+1}-a_k|=1,\]所以一定存在 $m$ 使得 $a_m=0$，此时 $r_m=0.5$，选项 A 正确；
选项 BC 的反例：前 $100$ 次中，第一次不中，后面 $85$ 次抽中，最后 $14$ 次不中．
选项 D，如果不存在 $m$ 使得 $r_m=0.8$，则前 $5$ 次投篮中至少有 $2$ 次不中，前 $10$ 次投篮中至少有 $3$ 次不中，前 $15$ 次投篮中至少有 $4$ 次不中，以此类推，前 $70$ 次投篮中至少有 $15$ 次不中，所以前 $75$ 次投篮中恰有 $15$ 次不中，从而 $r_{75}=0.8$，矛盾．故选项 D 正确．
选项 A，记前 $k$ 次投篮中，投中的次数减去不中的次数为 $a_k$，则\[a_1=-1<0,a_{100}=85-15>0,\]而\[|a_{k+1}-a_k|=1,\]所以一定存在 $m$ 使得 $a_m=0$，此时 $r_m=0.5$，选项 A 正确；
选项 BC 的反例：前 $100$ 次中，第一次不中，后面 $85$ 次抽中，最后 $14$ 次不中．
选项 D，如果不存在 $m$ 使得 $r_m=0.8$，则前 $5$ 次投篮中至少有 $2$ 次不中，前 $10$ 次投篮中至少有 $3$ 次不中，前 $15$ 次投篮中至少有 $4$ 次不中，以此类推，前 $70$ 次投篮中至少有 $15$ 次不中，所以前 $75$ 次投篮中恰有 $15$ 次不中，从而 $r_{75}=0.8$，矛盾．故选项 D 正确．
题目
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