设 $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ 为非零向量，$\big|{\overrightarrow b }\big| = 2\big|{\overrightarrow a }\big|$，两组向量 $\overrightarrow x_1$，$\overrightarrow x_2$，$\overrightarrow x_3$，$\overrightarrow x_4$ 和 $\overrightarrow y_1$，$\overrightarrow y_2$，$\overrightarrow y_3$，$\overrightarrow y_4$ 均由 $2$ 个 $\overrightarrow a$ 和 $2$ 个 $\overrightarrow b$ 排列而成，若 $\overrightarrow x_1\cdot \overrightarrow y_1+ \overrightarrow x_2\cdot \overrightarrow y_2+ \overrightarrow x_3\cdot \overrightarrow y_3+ \overrightarrow x_4\cdot \overrightarrow y_4$ 所有可能取值中的最小值为 $4{\big|{\overrightarrow a }\big|^2}$，则 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考安徽卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
记 $\big| \overrightarrow a\big|=m$，$\big|\overrightarrow b\big|=2m$，$\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\theta$．设题中计算的和式为 $S$，按照计算 $S$ 的过程中 $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a$ 出现的个数分为 $3$ 类：
第一类，$2$ 个 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a$，此时 $S=10m^2$；
第二类，$1$ 个 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a$，此时 $S=5m^2+4m^2\cos\theta$；
第三类，$0$ 个 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a$，此时 $S=8m^2\cos\theta$．
因此 $8m^2\cos\theta$ 是 $S$ 的所有可能取值中的最小值，因此 $\cos\theta=\dfrac 12$，进而 $\theta=\dfrac{\mathrm \pi} 3$．
第一类，$2$ 个 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a$，此时 $S=10m^2$；
第二类，$1$ 个 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a$，此时 $S=5m^2+4m^2\cos\theta$；
第三类，$0$ 个 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a$，此时 $S=8m^2\cos\theta$．
因此 $8m^2\cos\theta$ 是 $S$ 的所有可能取值中的最小值，因此 $\cos\theta=\dfrac 12$，进而 $\theta=\dfrac{\mathrm \pi} 3$．
题目
答案
解析
备注
