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已知实数 $a,b,c$． \((\qquad)\)
A: 若 $|a^2+b+c|+|a+b^2+c|\leqslant 1$，则 $a^2+b^2+c^2<100$
B: 若 $|a^2+b+c|+|a^2+b-c|\leqslant 1$，则 $a^2+b^2+c^2<100$
C: 若 $|a+b+c^2|+|a+b-c^2|\leqslant 1$，则 $a^2+b^2+c^2<100$
D: 若 $|a^2+b+c|+|a+b^2-c|\leqslant 1$，则 $a^2+b^2+c^2<100$
【难度】
【出处】
2016年高考浙江卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    整形
    >
    绝对值的整理
【答案】
D
【解析】
对于选项A，条件等价于$$\begin{cases} \left|\left(a-\dfrac 12\right)^2-\left(b-\dfrac 12\right)^2\right|\leqslant 1,\\ \left|a^2+a+b^2+b+2c\right|\leqslant 1,\end{cases}$$考虑双曲线 $\left(a-\dfrac 12\right)^2-\left(b-\dfrac 12\right)^2=1$，命题错误；
对于选项B，条件等价于$$\begin{cases} \left|2\left(a^2+b\right)\right|\leqslant 1,\\ |2c|\leqslant 1,\end{cases} $$考虑抛物线 $2\left(a^2+b\right)=1$，命题错误；
对于选项C，条件等价于$$\begin{cases} \left|2(a+b)\right|\leqslant 1,\\ \left|2c^2\right|\leqslant 1,\end{cases} $$考虑直线 $2(a+b)=1$，命题错误；
对于选项D，条件等价于$$\begin{cases} \left|\left(a+\dfrac 12\right)^2+\left(b+\dfrac 12\right)^2-\dfrac 12\right|\leqslant 1,\\ \left|a^2-a-b^2+a+2c\right|\leqslant 1,\end{cases} $$此时$$-\dfrac 12\leqslant \left(a+\dfrac 12\right)^2+\left(b+\dfrac 12\right)^2\leqslant \dfrac 32,$$于是$$|a|,|b|\leqslant \dfrac 12+\sqrt{\dfrac 32}<2,$$进而$$|2c|\leqslant 1+\left|a^2-a-b^2+a\right|< 13,$$命题正确．
题目 答案 解析 备注
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